Grado realativo y absoluto en monomios y polinomios

Conceptos fundamentales

El grado de una expresión algebraica es una característica dada por los exponentes de sus variables y determina el nivel de complejidad o la dimensión de la fórmula.

1. Grado Relativo (GR): Es el exponente de una variable específica en un monomio, o el mayor exponente de dicha variable dentro de un polinomio.
2. Grado Absoluto (GA):

• • En nu monomio, es la suma de los exponentes de todas sus variables.
  • En un polinomio, es el mayor grado absoluto entre todos sus términos (monomios).

Ejemplos resueltos progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo A (Monomio básico):

Determinar el GR y GA de: \(M(x,y)=-5x^3y^4\)

1. GR(x): Observamos el exponente de \(x\), que es 3.
2. GR(y): Observamos el exponente de \(y\), que es 4.
3. GA: Sumamos los exponentes: \(3+4=7\).

Ejemplo B (Polinomio intermedio):

Determina el GR y GA de: \(P8x,y)=2x^5y^2-7x^3y^6+x^2y\)

1. Analizamos cada uno de los 3 términos por separado:
   • Término 1 \((2x^5y^2)\): Grado \=(5+2=7\)
   • Término 2 \((-7x^3y^6)\): Grado \=(3+6=9\)
   • Término 3 \((x^2y^1)\): Grado \=(2+1=3\)
2. GR(x): El mayor exponente de \(5\) es 5.
3. GR(y): El mayor exponente de \(y\) es 6.
4. GA: El mayor grado de los término es 9.

Ejemplo C (Polinomio complejo con fracciones):

Determinar el GR y GA de: \(Q(a, b) = \frac{3}{4}a^2b^8 – 5a^6b^3 + \frac{1}{2}a^7b^5\)

1. Analizamos los grados de los términos:
   • Término 1: \(2+8=10\)
   • Término 2: \(6+3=9\)
   • Término 3: \(7+5=12\)
2. GR(\(a\)): El mayor exponente de (a) es 7.
3. GR(\(b)): El mayor exponente de (b) es 8.
4. GA: El término con mayor suma es el tercero, por lo tanto, el GA es 12.

Actividades prácticas (Ejercicios contextualizados al BTH)

Problema 1 (Gastronomía – Control de variables)

En un proyecto productivo de respostería a escala, la combinación de ingredientes calóricos se modela mediante el polinomio: \(P(a, l) = 4a^3l^5 – 2a^6l^2\), donde \(a\) representa los sacos de azúcar y \(l\) los litros de leche. Determinemos los grados para clasificar la complejidad del almacén.

1. Analizamos los grados de los términos:
   • Término 1:
   • Término 2:
   • Término 3:
2. GR(\(a\)):
3. GR(\(l\)):
4. GA:

Problema 2 (Electrónica – Disipación de energía)

La resistencia térmica de un circuito integrado complejo con disipadores de cobre se representa por el polinomio: \(E(x, y) = 0,5x^2y^7 + 3x^4y^2 – \frac{1}{5}x^8y^3\). Encontremos el GA para predecir picos de temperatura.

1. Analizamos los grados de los términos:
   • Término 1:
   • Término 2:
   • Término 3:
2. GR(\(a\)):
3. GR(\(l\)):
4. GA:

Problema 3 (Contaduría – Crecimiento de activos):

La proyección de depreciación de activos fijos de la fotocopiadora escolar sigue la fórmula: \(D(m, c) = 15m^4c^3 + 2m^5c^6\), donde \(m\) representa el uso de maquinaria y \(c\) el costo de mantenimiento. Determinemos el GR con respecto a la maquinaria \((m)\).

Observa los exponentes de la variable \(m\) en los términos.

• GR(\(m\))=