Valor numérico de expresiones algebraicas

Conceptos fundamentales

El Valor Numérico (VN) de una expresión algebraica es el número de resultado de sustituir las variables (letras) por valores numéricos determinados y realizar las operaciones matemáticas indicadas respetando la jerarquía de las operaciones.

Regla de jerarquía:

1. Potencias y Raíces
2. Multiplicaciones y Divisiones
3. Sumas y Restas

Ejemplos resueltos progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo A (Monomio simple):

Hallar el VN de \(P(x) = 3x^2\) para \(x=4\).

1. Sustituimos la variable: \(P(4) = 3 \cdot (4)^2\)
2. Resolvemos la potencia primero: \(P(4) = 3 \cdot 16\)
3. Multiplicamos: \(P(4)=48\).

Ejemplo B (Binomio con dos variables):

Calcular el VN de \(Q(a, b) = 5a – 2b^2\) si \(a=6\) y \(b=3\).

1. Sustituimos: \(Q(6, 3) = 5(6) – 2(3)^2\)
2. Resolvemos potencias: \(Q(6, 3) = 5(6) – 2(9)\)
3. Efectuamos multiplicaciones: \(Q(6, 3) = 30 – 18\)
4. Restamos: \(Q(6,3)=12\).

Ejemplo C (Polinomio complejo con fracciones y signos negativos):

Hallar el VN de \(R(x, y) = \frac{1}{2}x^3 + 4xy – 5\) para \(x=-2\) e \(y=3\).

Sustituimos (usando paréntesis para el número negativo):

\[R(-2, 3) = \frac{1}{2}(-2)^3 + 4(-2)(3) – 5\]

Resolvemos la potencia (\((-2)^3 = -8\)):

\[R(-2, 3) = \frac{1}{2}(-8) + 4(-2)(3) – 5\]

Multiplicamos y dividimos:

\[R(-2, 3) = -4 – 24 – 5\]

Operamos los enteros negativos: \(R(-2,3)=-33\).

Actividades prácticas (Ejercicios contextualizados al BTH)

Problema 1 (Gastronomía – Presupuesto de masa para empanadas):

La fórmula para determinar el costo en bolivianos de producir una tanda de empanadas medianas está dada por el polinomio: \(C(f, m) = 15f + 8m + 5\), donde \(f\) es el precio de kilo de harina y \(m\) el costo del bloque de manteca en el mercado Mutualista. Si hoy el kilo de harina cuesta 6 Bs. y la manteca 12 Bs, ¿cuál es el costo total de la tanda?

1. Datos:
2. Sustituimos en la expresión del costo:
3. Operamos:

Problema 2 (Electrónica – Ley de Ohm y potencia)

En el laboratorio del UEMG I, la potencia disipada por un componente se expresa algebraicamente como \(P(i, r) = i^2r\), donde \(i\) es la corriente en amperios y \(r\) es la resistencia en ohmios. Si un estudiante mide con el multímetro una corriente \(i=3A\) y una resistencia \(r = 10\ \Omega\), calculemos la potencia real.

1. Datos:
2. Sustituimos:
3. Resolvemos potencias y luego multiplicación:

Problema 3 (Contaduría – Balance de Caja Chica):

El saldo disponible de la caja chica de un taller técnico se modela mediante el trinomio: \(S(i, g) = 500 + 3i – 2g\), donde \(i\) es el número de facturas de ingresos cobradas y \(g\) el número de recibos de gastos emitidos. Si se registraron \(i=20\) ingresos y \(g=15\) gastos, determinemos el saldo.

1. Datos:
2. Sustituimos:
3. Multiplicamos:
4. Resultado: