Grado realativo y absoluto en monomios y polinomios

Conceptos fundamentales

El grado de una expresión algebraica es una característica dada por los exponentes de sus variables y determina el nivel de complejidad o la dimensión de la fórmula.

1. Grado Relativo (GR): Es el exponente de una variable específica en un monomio, o el mayor exponente de dicha variable dentro de un polinomio.
2. Grado Absoluto (GA):

• • En nu monomio, es la suma de los exponentes de todas sus variables.
  • En un polinomio, es el mayor grado absoluto entre todos sus términos (monomios).

Ejemplos resueltos progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo A (Monomio básico):

Determinar el GR y GA de: M(x,y)=-5x^3y^4

1. GR(x): Observamos el exponente de x, que es 3.
2. GR(y): Observamos el exponente de y, que es 4.
3. GA: Sumamos los exponentes: 3+4=7.

Ejemplo B (Polinomio intermedio):

Determina el GR y GA de: P8x,y)=2x^5y^2-7x^3y^6+x^2y

1. Analizamos cada uno de los 3 términos por separado:
   • Término 1 (2x^5y^2): Grado =5+2=7
   • Término 2 (-7x^3y^6): Grado =3+6=9
   • Término 3 (x^2y^1): Grado =2+1=3
2. GR(x): El mayor exponente de 5 es 5.
3. GR(y): El mayor exponente de y es 6.
4. GA: El mayor grado de los término es 9.

Ejemplo C (Polinomio complejo con fracciones):

Determinar el GR y GA de: Q(a, b) = \frac{3}{4}a^2b^8 - 5a^6b^3 + \frac{1}{2}a^7b^5

1. Analizamos los grados de los términos:
   • Término 1: 2+8=10
   • Término 2: 6+3=9
   • Término 3: 7+5=12
2. GR(a): El mayor exponente de a es 7.
3. GR(b): El mayor exponente de b es 8.
4. GA: El término con mayor suma es el tercero, por lo tanto, el GA es 12.

Actividades prácticas (Ejercicios contextualizados al BTH)

Problema 1 (Gastronomía – Control de variables)

En un proyecto productivo de respostería a escala, la combinación de ingredientes calóricos se modela mediante el polinomio: P(a, l) = 4a^3l^5 - 2a^6l^2, donde a representa los sacos de azúcar y l los litros de leche. Determinemos los grados para clasificar la complejidad del almacén.

1. Analizamos los grados de los términos:
   • Término 1:
   • Término 2:
   • Término 3:
2. GR(a):
3. GR(l):
4. GA:

Problema 2 (Electrónica – Disipación de energía)

La resistencia térmica de un circuito integrado complejo con disipadores de cobre se representa por el polinomio: E(x, y) = 0,5x^2y^7 + 3x^4y^2 - \frac{1}{5}x^8y^3. Encontremos el GA para predecir picos de temperatura.

1. Analizamos los grados de los términos:
   • Término 1:
   • Término 2:
   • Término 3:
2. GR(a):
3. GR(l):
4. GA:

Problema 3 (Contaduría – Crecimiento de activos):

La proyección de depreciación de activos fijos de la fotocopiadora escolar sigue la fórmula: D(m, c) = 15m^4c^3 + 2m^5c^6, donde m representa el uso de maquinaria y c el costo de mantenimiento. Determinemos el GR con respecto a la maquinaria (m).

Observa los exponentes de la variable m en los términos.

• GR(m)=