División de un polinomio por otro polinomio

Conceptos fundamentales

La división de dos polinomios mediante el método clásico sigue un algoritmo análogo al de la división de números entero.

Reglas críticas de preparación:

1. Orden decreciente: Tanto en el dividendo como en el divisor deben estar estrictamente ordenados de mayor a menor exponente respecto a una variable.
2. Polinomio Completo (Uso de ceros): Si en el dividendo falta algún término de grado intermedio, se debe completar el espacio introduciendo un cero \((0x^n)\) o dejando el espacio en blanco equivalente. Esto garantiza la alineación vertical de los términos semejantes durante las restas sucesivas.

Ejemplos resueltso progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo A (División exacta/Polinomio completo):

Dividir \((x^2 + 5x + 6)\) entre \((x + 2)\).

\[\begin{array}{r|l}
% LADO IZQUIERDO: El dividendo y las restas
\begin{array}[t]{rrr}
x^2 & + 5x & + 6 \\
-x^2 & – 2x & \\
\hline
& 3x & + 6 \\
& -3x & – 6 \\
\hline
& & 0
\end{array}
&
% LADO DERECHO: El divisor y el cociente
\begin{array}[t]{l}
x + 2 \\
\hline
x + 3
\end{array}
\end{array}\]

Ejemplo B (Polinomio incompleto – Introducción de ceros):

Dividir \((x^3 – 1)\) entre \((x – 1)\).

Preparación: El dividendo carece de los términos de grado 2 y grado 1. Completamos: \(x^3 + 0x^2 + 0x – 1\).

\[\begin{array}{r|l}
% LADO IZQUIERDO: [t] fuerza la alineación superior
\begin{array}[t]{rrrr}
x^3 & + 0x^2 & +0x & -1 \\
-x^3 & +x^2 & \\
\hline
& x^2 & +0x  \\
& -x^2 & +x \\
\hline
& & x &-1 \\
& & -x &+1 \\
\hline
& & & 0
\end{array}
&
% LADO DERECHO: [t] fuerza la alineación superior
\begin{array}[t]{l}
x -1 \\
\hline
x^2+x + 1
\end{array}
\end{array}\]

Ejemplo C (División con residuo diferente de cero):

Dividir \((2x^2 + 7x + 5)\) entre \(x+3\)

\[\begin{array}{r|l}
% LADO IZQUIERDO: [t] fuerza la alineación superior
\begin{array}[t]{rrr}
2x^2 & + 7x & +5 \\
-2x^2 & -6x & \\
\hline
& x & +5 \\
& -x & -3 \\
\hline
& & 2
\end{array}
&
% LADO DERECHO: [t] fuerza la alineación superior
\begin{array}[t]{l}
x +3 \\
\hline
2x + 1
\end{array}
\end{array}\]

Ejemplo D (Dividendo desordenado):

Dividir \((11x + 6x^2 – 10)\) entre \((2x – 1)\).

Reordenación decreciente: \((6x^2 + 11x – 10) \div (2x – 1)\).

\[\begin{array}{r|l}
% LADO IZQUIERDO: [t] fuerza la alineación superior
\begin{array}[t]{rrr}
6x^2 & + 11x & -10 \\
-6x^2 & + 3x & \\
\hline
& 14x & -10 \\
& -14x & +7 \\
\hline
& & -3
\end{array}
&
% LADO DERECHO: [t] fuerza la alineación superior
\begin{array}[t]{l}
2x -1 \\
\hline
3x + 7
\end{array}
\end{array}\]

Ejemplo E (División de polinomios de mayor grado):

Dividir \((3x^3 – 2x^2 – 7x – 2)\) entre \((3x + 1)\).

\[\begin{array}{r|l}
% LADO IZQUIERDO: [t] fuerza la alineación superior
\begin{array}[t]{rrrr}
3x^3 & – 2x^2 & – 7x & – 2 \\
-3x^3 & – x^2 & \\
\hline
& – 3x^2 & – 7x  \\
& + 3x^2 & +x \\
\hline
& & – 6x & – 2 \\
& & + 6x &+ 2 \\
\hline
& & & 0
\end{array}
&
% LADO DERECHO: [t] fuerza la alineación superior
\begin{array}[t]{l}
3x +1 \\
\hline
x^2-x -2
\end{array}
\end{array}\]

Actividades prácticas (Problemas contextualizados al BTH)

Problema 1 (Gastronomía – Dimensionamiento de superficie base):

El área útil de un mesón industrial de panadería está modelada por el polinomio \(A(x) = x^2 + 7x + 12\text{ cm}^2\). Si se conoce que el ancho estructural mide \((x + 3)\text{ cm}\) cm, hallemos la función que define el largo del mesón aplicando la división de polinomios \((\text{Largo} = \frac{\text{Área}}{\text{Ancho}})\).

Problema 2 (Electrónica – Optimización de consumo energético):

La función de carga eléctrica de una tarjeta de control es \(Q(t) = 2t^3 – t^2 – 7t + 6\). Si el módulo de temporización distribuye la señal en intervalos definidos por el polinomio \((2t – 3)\), calculemos la tasa de eficiencia del sistema.

Problema 3 (Contaduría – Amortización de activos fijos):

La proyección contable de depreciación acumulada de un lote de maquinaria fotocopiadora se rige por el polinomio \(D(x) = 6x^2 + x – 15\) Bs. Si el tiempo estimado ponderado equivale a \((2x – 3)\) meses, obtengamos la cuota mensual de amortización analítica.