Disión de un polinomio por un monomio

Conceptos fundamentales

La división de un polinomio entre un monomio se basa en la propiedad distributiva de la división respeto a la adición. Para realizar esta operación, se divide cada uno de los términos del polinomio de forma independiente entre el monomio división.

Para ejecutar este algoritmo con precisión, se aplican dos leyes fundamentales:

Ley de Signos para la división:

$+/+=+$
$-/-=+$
$+/-=-$
$-/+=-$

Ley de Exponentes (Cociente de bases iguales):

Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base común y se restan los exponentes (el exponente del dividendo menos el exponente del divisor):

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Ejemplos resueltos progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo A (Monomio entre monomio):

Dividir $15x^5$ entre $3x^2$ .

Signos y coeficientes: $\frac{15}{3} = 5$

Exponentes: $x^{5-2} = x^3$

Resultado: $5x^3$

Ejemplo B (Binomio entre monomio):

Término 1: $\frac{12x^4}{2x^1} = 6x^{4-1} = 6x^3$

Término 2: $\frac{-8x^3}{2x^1} = -4x^{3-1} = -4x^2$

Resultado: $6x^3 - 4x^2$

Ejemplo C (Trinomio con exponente mayores):

Dividir $(20x^7 - 15x^5 + 5x^3)$ entre $5x^2$ .

Operación distributiva: $\frac{20x^7}{5x^2} - \frac{15x^5}{5x^2} + \frac{5x^3}{5x^2}$

Resultado: $4x^5 - 3x^3 + x$

Ejemplo D (Variables múltiples):

Dividir $(-18a^4b^5 + 12a^3b^3)$ entre $-3a^2b^2$

Término 1: $\frac{-18a^4b^5}{-3a^2b^2} = +6a^{4-2}b^{5-2} = 6a^2b^3$

Término 2: $\frac{12a^3b^3}{-3a^2b^2} = -4a^{3-2}b^{3-2} = -4ab$

Resultado: $6a^2b^3 - 4ab$

Ejemplo E (Resultado con términos independientes):

Dividir $(8x^3 - 4x^2 + 2x)$ entre $2x$

Distribución: $\frac{8x^3}{2x} - \frac{4x^2}{2x} + \frac{2x}{2x}$

Resultado: $\mathbf{4x^2 - 2x + 1}$ (Recordar que $\frac{2x}{2x} = 1$ , no es cero).

Actividades prácticas (Problemas contextualizados al BTH)

Problema 1 (Gastronomía – Prorrateo de masa en lotes):

La producción total de una jornada de respostería está modelada por el polinomio $P(x) = 18x^4 + 12x^3 - 6x^2$ gramos de masa. Si esta masa se distribuye equitativamente en un número de moldes representado por el monomio $6x^2$ , determinemos la función de masa por molde.

Problema 2 (Electrónica – Distribución de corriente en mallas):

La caída de tensión total en un circuito en paralelo se expresa mediante $V(i) = 24i^5 - 16i^3$ voltios. Si la resistencia equivalente del tramo está dada por el monomio $4i^2$ , determinemos la expresión de la intensidad de corriente utilizando la Ley de Ohm $(I = \frac{V}{R})$ .

Problema 3 (Contaduría – Costo unitario de empaquetes loteados):

Un comerciante del mercado Mutualista adquiere un lote corporativo de mercadería cuyo costo total está representado por $C(a) = 35a^6 + 14a^4 - 21a^2$ Bs. Si el lote contiene $7a^2$ paquetes de productos, calculemos la función de costo por paquete.

Problema 4 (Electrónica – Potencia eficaz seccional):

La energía total acumulada en una red de capacitores integrados sigue la función $E(c) = -10c^4 + 15c^3 - 5c^2$ . Si se divide el sistema en $5c^2$ micro-mallas de descarga, ¿cuál es la energía distribuida por sección?

Problema 5 (Contaduría – Rendimiento de caja chica):

El balance contable bruto de un emprendimiento escolar se rige bajo el polinomio $B(x) = 9x^3y^2 - 6x^2y^2$ . Si este capital debe dividirse entre el factor logístico de operaciones $3x^2y$ , determinemos la función de rendimiento neto.