Sustracción algebraica y cambio de signo

Conceptos fundamentales

Las sustracción algebraica es la operación inversa a la adicción. Su ejecución introduce un concepto crítico: el impacto del signo operativo menos (\(-\)) antecediendo a un signo de agrupación o polinomio.

1. Minuendo: El polinomio que va a disminuir (no cambia sus signos).
2. Sustraendo: El polinomio que se va a restar. CRÍTICO: Por definición matemática, restar un polinomio equivale a sumar su opuesto. Por lo tanto, todos los signos del sustraendo deben cambiar antes de realizar la reducción.

Ejemplos resueltos progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo A (Sustracción básica):

Restar \(Q(x) = 2x + 5\) de \(P(x) = 7x + 9\).

Identificación:

1. Minuendo: \(7x+9\)
2. Sustraendo: \(2x+5\)

Planteamiento con cambio de signo al sustraendo:

\[\begin{array}{rl} 7x + 9 \\ -\quad (2x + 5) \end{array} \quad \rightarrow \quad \begin{array}{rl} 7x + 9 \\ \quad -2x – 5 \\ \hline \mathbf{5x + 4} \end{array}\]

Ejemplo B (Uso de la palabra «De» y «Restar»):

De \(5x^2 – 4x + 3\) restar \(2x^2 – 8x – 1\).

Identificación: El que sigue a «De» es el minuendo. El que sigue a «Restar» es el sustraendo (cambia de signo).

Operación vertical:

\[\begin{array}{rl} 5x^2 – 4x + 3 \\ \quad -2x^2 + 8x + 1 \\ \hline \mathbf{3x^2 + 4x + 4} \end{array}\]

Ejemplo C (Sustracción compleja con trinomios):

Restar \(-3a^2b + 5ab^2 – 2\) de \(2a^2b – 2ab^2 + 8\)

Invertimos los signos del sustraendo y acomodamos:

\[\begin{array}{rl} 2a^2b – 2ab^2 + 8 \\ \quad 3a^2b – 5ab^2 + 2 \\ \hline \mathbf{5a^2b – 7ab^2 + 10} \end{array}\]

Actividades prácticas (Problemas contextualizaos al BTH):

Problema 1 (Gastronomía – Cálculo de mermas y desperdicios):

La masa total preparada para un horneado comunitario de pan de batalla se modela con el polinomio \(M(x) = 50x^2 + 30x\). Tras el proceso de figurado y horneado, se registra una pérdida por evaporación y residuos pegados en las mezcladoras equivalente a \(P(x) = 5x^2 – 4x\). Determinemos la masa neta útil final de la producción.

Problema 2 (Contauría – Cálculo de Utilidad Neta):

Los ingresos brutos trimestrales de  un taller técnico administrativo por estudiantes de contabilidad están expresados por \(I(t) = 80t + 500\). Si los costos operativos y de comercialización alcanzan un valor de \(C(t) = 30t – 100\), calculemos la utilidad neta real (\(Ingresos – Costos\)).

Problema 3 (Electrónica – Caída de Tesión/Voltaje):

La fuente de alimentación general de un laboratorio BTH inyecta una señal equivalente a \(V(t) = 12t^2 + 24t\). Al pasar por un conjunto de sub-mallas con diodos, se genera una pérdida de potencial de \(L(t) = 2t^2 + 5t\). ¿Cuál es el polinomio representativo del voltaje final del sistema?