Sustracción algebraica y cambio de signo

Conceptos fundamentales

Las sustracción algebraica es la operación inversa a la adicción. Su ejecución introduce un concepto crítico: el impacto del signo operativo menos ( $-$ ) antecediendo a un signo de agrupación o polinomio.

Minuendo: El polinomio que va a disminuir (no cambia sus signos).
Sustraendo: El polinomio que se va a restar. CRÍTICO: Por definición matemática, restar un polinomio equivale a sumar su opuesto. Por lo tanto, todos los signos del sustraendo deben cambiar antes de realizar la reducción.

Ejemplos resueltos progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo A (Sustracción básica):

Restar $Q(x) = 2x + 5$ de $P(x) = 7x + 9$ .

Identificación:

Minuendo: $7x+9$
Sustraendo: $2x+5$

Planteamiento con cambio de signo al sustraendo:

\begin{array}{rl} 7x + 9 \\ -\quad (2x + 5) \end{array} \quad \rightarrow \quad \begin{array}{rl} 7x + 9 \\ \quad -2x - 5 \\ \hline \mathbf{5x + 4} \end{array}

Ejemplo B (Uso de la palabra «De» y «Restar»):

De $5x^2 - 4x + 3$ restar $2x^2 - 8x - 1$ .

Identificación: El que sigue a «De» es el minuendo. El que sigue a «Restar» es el sustraendo (cambia de signo).

Operación vertical:

\begin{array}{rl} 5x^2 - 4x + 3 \\ +\quad -2x^2 + 8x + 1 \quad \text{(Signos invertidos)} \\ \hline \mathbf{3x^2 + 4x + 4} \end{array}

Ejemplo C (Sustracción compleja con trinomios):

Restar $-3a^2b + 5ab^2 - 2$ de $2a^2b - 2ab^2 + 8$

Invertimos los signos del sustraendo y acomodamos:

\begin{array}{rl} 2a^2b - 2ab^2 + 8 \\ \quad 3a^2b - 5ab^2 + 2 \\ \hline \mathbf{5a^2b - 7ab^2 + 10} \end{array}

Actividades prácticas (Problemas contextualizaos al BTH):

Problema 1 (Gastronomía – Cálculo de mermas y desperdicios):

La masa total preparada para un horneado comunitario de pan de batalla se modela con el polinomio $M(x) = 50x^2 + 30x$ . Tras el proceso de figurado y horneado, se registra una pérdida por evaporación y residuos pegados en las mezcladoras equivalente a $P(x) = 5x^2 - 4x$ . Determinemos la masa neta útil final de la producción.

Problema 2 (Contauría – Cálculo de Utilidad Neta):

Los ingresos brutos trimestrales de un taller técnico administrativo por estudiantes de contabilidad están expresados por $I(t) = 80t + 500$ . Si los costos operativos y de comercialización alcanzan un valor de $C(t) = 30t - 100$ , calculemos la utilidad neta real ( $Ingresos - Costos$ ).

Problema 3 (Electrónica – Caída de Tesión/Voltaje):

La fuente de alimentación general de un laboratorio BTH inyecta una señal equivalente a $V(t) = 12t^2 + 24t$ . Al pasar por un conjunto de sub-mallas con diodos, se genera una pérdida de potencial de $L(t) = 2t^2 + 5t$ . ¿Cuál es el polinomio representativo del voltaje final del sistema?