Método de divisiones sucesivas (Ruffini)

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un caso particular y simplificado del método de Horner que se aplica únicamente cuando el divisor es un binomio lineal de primer grado de la forma \((x \pm a)\) o \((ax \pm b)\).

Procedimiento:

1. Se iguala el divisor a cero para despejar la variable: \(x \pm a = 0 \Rightarrow x = \mp a\).
2. Se colocan en una fila horizontal los coeficientes del dividendo (completo y ordenado).Se baja directamente el primer coeficiente.
3. Se multiplica este valor por el valor despejado de la variable y se anota el resultado debajo del siguiente coeficiente para sumarlo verticalmente.
4. El último número obtenido a la derecha representa el Residuo. Si el divisor es de la forma \((ax \pm b)\) con \(a \neq 1\), todos los coeficientes del cociente obtenidos deben dividirse entre el coeficiente principal \(a\).

Ejemplos resueltos progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo 1 (Divisor mónico directo \(x – a\)):

Dividir \((2x^3 – 3x^2 + 4x – 5)\) entre \((x – 2)\).

Despeje: \(x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2\).

Esquema:

\[\begin{array}{c\|rrr\|r} & 2 & -3 & 4 & -5 \\ 2 & & 4 & 2 & 12 \\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 \end{array}\]

Resultados: \(\mathbf{q(x) = 2x^2 + x + 6}\), \(\mathbf{R = 7}\).

Ejemplo 2 (Divisor con signo positivo \(x + a\)):

Dividir \((x^4 + 4x^3 – x^2 – 16x – 12)\) entre \((x + 3)\).

Despeje: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\).

Esquema:

\[\begin{array}{c\|rrrr\|r} & 1 & 4 & -1 & -16 & -12 \\ -3 & & -3 & -3 & 12 & 12 \\ \hline & 1 & 1 & -4 & -4 & 0 \end{array}\]

Resultados: \(\mathbf{q(x) = x^3 + x^2 – 4x – 4}\), \(\mathbf{R = 0}\) (División exacta).

Ejemplo 3 (Dividendo incompleto con ceros):

Dividir \((3x^4 – 2x^2 + 5)\) entre \((x – 1)\).

Completando dividendo: \(3, 0, -2, 0, 5\). Despeje: \(x = 1\).

Esquema:

\[\begin{array}{c\|rrrr\|r} & 3 & 0 & -2 & 0 & 5 \\ 1 & & 3 & 3 & 1 & 1 \\ \hline & 3 & 3 & 1 & 1 & 6 \end{array}\]

Resultados: \(\mathbf{q(x) = 3x^3 + 3x^2 + x + 1}\), \(\mathbf{R = 6}\).

Ejemplo 4 (Divisor de la forma \(ax \pm b\) con \(a \neq 1\)):

Dividir \((4x^3 + 6x^2 – 2x + 3)\) entre \((2x – 1)\).

Despeje: \(2x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2\).

Esquema:

\[\begin{array}{c\|rrr\|r} & 4 & 6 & -2 & 3 \\ 1/2 & & 2 & 4 & 1 \\ \hline & 4 & 8 & 2 & 4 \end{array}\]

Ajuste del cociente: Como \(a = 2\), se divide el cociente preliminar entre \(2\):

• \(q(x) = \frac{4x^2 + 8x + 2}{2} = \mathbf{2x^2 + 4x + 1}\)
• El residuo no se divide: \(\mathbf{R = 4}\).

Ejemplo 5 (Divisiones sucesivas de Ruffini):

Factorizar o dividir sucesivamente \((x^3 – 6x^2 + 11x – 6)\) entre \((x – 1)\) y luego el resultado entre \((x – 2)\).

Paso 1 (entre \(x – 1\), \(x=1\)):

\[\begin{array}{c\|rrr\|r} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 1 & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0  \end{array}\]

\[\rightarrow q_1(x) = x^2 – 5x + 6\]

Paso 2 (resultado entre \(x – 2\), \(x=2\)):

\[\begin{array}{c\|rr\|r} & 1 & -5 & 6 \\ 2 & & 2 & -6 \\ \hline & 1 & -3 & 0 \end{array}\]

\[\rightarrow q_2(x) = \mathbf{x – 3}\]

Resultado final: Cociente final \(\mathbf{x – 3}\), residuos sucesivos \(\mathbf{0}\).

Actividades Prácticas (Contextualizados al BTH)

Problema 1 (Contaduría – Liquidación de gastos de caja chica en cuotas):

Un fondo acumulado de compras para la cafetería escolar asciende a \(P(x) = 2x^3 + 5x^2 – 4x + 8\) Bs. Si este importe se liquida de forma lineal entre \((x + 3)\) beneficiarios, determina el monto por persona y el remanente en caja.

Problema 2 (Electrónica – Atenuación de voltaje por etapas):

La señal de entrada a una placa lógica es \(V(t) = t^3 – 4t^2 + 6t – 2\). Si pasa por un circuito atenuador lineal regulado en el punto \(t = 2\) (divisor \(t – 2\)), obtén la señal de salida y la tensión residual.

Problema 3 (Gastronomía – Porcionamiento de bandejas de bocaditos):

En un taller de Gastronomía se preparan \(B(x) = 3x^3 + 7x^2 – 2x + 10\) bocaditos para una recepción. Si se arman cajas lineales de capacidad \((x + 2)\), ¿cuántas cajas completas se obtienen y cuántos bocaditos sobran?

Problema 4 (Contaduría – Rendimiento de inventario en lote fraccionado):

El valor contable de un lote de material eléctrico es \(I(x) = 6x^3 + 10x^2 – x + 4\). Si se agrupa en paquetes de tamaño \((3x – 1)\), determine la función de rendimiento unitario y el saldo.

Problema 5 (Electrónica – Decaimiento de carga en condensadores sucesivos):

La descarga de un banco de condensadores sigue el polinomio \(Q(t) = t^3 – 6t^2 + 12t – 8\). Al pasar sucesivamente por dos filtros lineales idénticos de paso \((t – 2)\), encuentra la carga final residual.