Teorema del Resto (Descartes)

Conceptos fundamentales

El Teorema del Resto (o Teorema de Descartes) establece que en una división de la forma \(P(x) \div (ax \pm b)\), el residuo \(R\) es igual al valor numérico que adquiere el polinomio dividendo \(P(x)\) cuando la variable \(x\) se sustituye por el valor que anula al divisor.

Algoritmo de Aplicación:

1. Igualación: Se toma el divisor y se iguala a cero: \(ax \pm b = 0\).
2. Despeje: Se despeja la variable principal: \(x = \mp \frac{b}{a}\).
3. Sustitución y Evaluación: Se reemplaza dicho valor en cada una de las apariciones de la variable en el dividendo: \(R = P\left(\mp \frac{b}{a}\right)\).
4. Cálculo Numérico: Se resuelven las potencias, multiplicaciones y adiciones respetando la jerarquía de operaciones para obtener el residuo final directo.

Ejemplos Resueltos Progresivos (Algorítmicos)

Ejemplo 1 (Divisor mónico con término independiente positivo):

Hallar el residuo de dividir \((x^2 + 5x + 8)\) entre \((x + 2)\).

• Paso 1 (Despeje):

\[x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\]

• Paso 2 (Sustitución):

\[R = (-2)^2 + 5(-2) + 8\]

• Paso 3 (Operación):

\[R = 4 – 10 + 8 = \mathbf{2}\]

Ejemplo 2 (Polinomio cúbico con divisor negativo):

Hallar el residuo de dividir \((2x^3 – 3x^2 + 4x – 5)\) entre \((x – 2)\).

• Paso 1 (Despeje):

\[x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2\]

• Paso 2 (Sustitución):

\[R = 2(2)^3 – 3(2)^2 + 4(2) – 5\]

• Paso 3 (Operación):

\[R = 2(8) – 3(4) + 8 – 5= 16 – 12 + 8 – 5 = \mathbf{7}\]

Ejemplo 3 (División exacta / Comprobación de factor):

Determinar el residuo de dividir \((x^3 – 4x^2 + x + 6)\) entre \((x – 3)\).

• Paso 1 Despeje:

\[x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3\]

• Paso 2 Sustitución:

\[R = (3)^3 – 4(3)^2 + (3) + 6\]

• Paso 3 Operación:

\[R = 27 – 4(9) + 3 + 6 = 27 – 36 + 9 = \mathbf{0}\] (División exacta)

Ejemplo 4 (Polinomio de grado mayor con potencias pares e impares):

Hallar el residuo de dividir \((x^{20} + 3x^5 – 2x^2 + 7)\) entre \((x + 1)\).

• Paso 1 Despeje:

\[x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\]

• Paso 2 Sustitución:

\[R = (-1)^{20} + 3(-1)^5 – 2(-1)^2 + 7\]

• Paso 3 Operación:

\[R = 1 + 3(-1) – 2(1) + 7 = 1 – 3 – 2 + 7 = \mathbf{3}\]

Ejemplo 5 (Divisor no mónico \(ax – b\)):

Calcular el residuo de dividir \((4x^3 + 6x^2 – 2x + 3)\) entre \((2x – 1)\).

• Paso 1 Despeje:

\[2x – 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\]

• Paso 2 Sustitución:

\[R = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 – 2\left(\frac{1}{2}\right) + 3\]

• Paso 3 Operación:

\[R = 4\left(\frac{1}{8}\right) + 6\left(\frac{1}{4}\right) – 1 + 3 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{4}{2} + 2 = 2 + 2 = \mathbf{4}\]

Actividades Prácticas (Problemas contextualizados al BTH)

Problema 1 (Gastronomía – Merma residual en dosificación de jarabes):

La cantidad total de jarabe elaborado para repostería responde a la expresión \(J(x) = 2x^3 + 5x^2 – 4x + 8\text{ ml}\). Si el jarabe se envasa en frascos dosificadores calibrados bajo el factor lineal \((x + 3)\), calcula directamente la cantidad de jarabe sobrante que no llega a completar un frasco.

Problema 2 (Electrónica – Tensión residual en etapa de regulación):

La función de potencial eléctrico en una tarjeta experimental es \(V(t) = t^3 – 4t^2 + 6t – 2\text{ voltios}\). Al acoplar un componente limitador lineal regulado a \((t – 2)\), determina la tensión residual no aprovechada sin desarrollar la división extensa.

Problema 3 (Gastronomía – Excedente de masa en horneado por moldes):

Se dispone de una masa para panetones modelada por \(M(x) = 3x^3 + 7x^2 – 2x + 10\text{ gramos}\). Si se distribuye en moldes de tamaño \((x + 2)\), calcula el sobrante de masa que queda en la tolva.

Problema 4 (Electrónica – Verificación de descarga total en filtro):

Un banco de descarga rápida se rige por \(Q(t) = t^4 – 2t^2 – 8\). El docente de taller requiere comprobar si la descarga a través del puerto regulado en \((t – 2)\) es total (residuo cero).

Problema 5 (Contaduría – Saldo en caja chica tras liquidación lineal):

Un fondo de caja chica acumulado para compras menores en la mutualista está expresado por \(C(x) = 6x^3 + 11x^2 – x + 4\text{ Bs}\). Si se liquidan gastos en cuotas proporcionales a \((3x – 1)\), halla el saldo remanente que permanecerá en caja.