División por el método de Horner

Conceptos fundamentales

El Método de Horner es un algoritmo sintético utilizado para dividir dos polinomios de cualquier grado, especialmente cuando el divisor es de grado 2 o superior (\(d(x) = b_0x^m + b_1x^{m-1} + \dots\)). Trabaja exclusivamente con los coeficientes de polinomios completos y ordenados de forma decreciente.

Estructura del Esquema:

En la fila superior se colocan los coeficientes del dividendo con sus propios signos.
En la columna izquierda vertical:
- En la esquina superior izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propio signo.
- Debajo de él se colocan los demás coeficientes del divisor con el signo cambiado.
La línea divisoria entre el cociente y el residuo se traza contando desde la derecha tantas columnas como indique el grado del divisor.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (División exacta básica con divisor de grado 2):

Dividir \((x^4 + 3x^3 + 5x^2 + 5x + 2)\) entre \((x^2 + x + 1)\).

Polinomios completos y ordenados:

Dividendo: \(1, 3, 5, 5, 2\)
Divisor: \(1, 1, 1\) (Esquina: \(1\); cambiamos: \(-1, -1\))

Separación de residuo:

Grado del divisor = 2 (se separa 2 columnas desde la derecha).

Esquema:

\[\begin{array}{c\|ccc\|cc} 1 & 1 & 3 & 5 & 5 & 2 \\ \hline -1 & & -1 & -1 & & \\ -1 & & & -2 & -2 & \\ & & & & -2 & -2 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}\]

Operación:

\(1 / 1 = 1 \rightarrow 1 \cdot (-1, -1) = -1, -1\)
\((3 – 1) / 1 = 2 \rightarrow 2 \cdot (-1, -1) = -2, -2\)
\((5 – 1 – 2) / 1 = 2 \rightarrow 2 \cdot (-1, -1) = -2, -2\)
Residuo: \(5 – 2 – 2 = 1\); \(2 – 2 = 0\)

Resultados:

\(\mathbf{q(x) = x^2 + 2x + 2}\), \(\mathbf{R(x) = x}\)

Ejemplo 2 (División con primer coeficiente del divisor mayor a 1):

Dividir \((6x^4 + 5x^3 – 7x^2 – 4x + 6)\) entre \((2x^2 – x + 1)\).

Coeficientes divisor:

Esquina: \(2\); cambiados: \(+1, -1\).

Esquema:

\[\begin{array}{c\|ccc\|cc} 2 & 6 & 5 & -7 & -4 & 6 \\ \hline 1 & & 3 & -3 & & \\ -1 & & & 4 & -4 & \\ & & & & -3 & 3 \\ \hline & 3 & 4 & -3 & -11 & 9 \end{array}\]

Operación:

\(6 / 2 = 3 \rightarrow 3 \cdot (1, -1) = 3, -3\)
\((5 + 3) / 2 = 4 \rightarrow 4 \cdot (1, -1) = 4, -4\)
\((-7 – 3 + 4) / 2 = -6 / 2 = -3 \rightarrow -3 \cdot (1, -1) = -3, 3\)
Residuo: \(-4 – 4 – 3 = -11\); \(6 + 3 = 9\).

Resultados:

\(\mathbf{q(x) = 3x^2 + 4x – 3}\), \(\mathbf{R(x) = -11x + 9}\).

Ejemplo 3 (Dividendo incompleto con ceros):

Dividir \((4x^4 + 2x^3 – 6x + 3)\) entre \((2x^2 + x – 1)\).

Completando dividendo:

\(4, 2, 0, -6, 3\).

Esquema:

\[\begin{array}{c\|ccc\|cc} 2 & 4 & 2 & 0 & -6 & 3 \\ \hline -1 & & -2 & 2 & & \\ 1 & & & 0 & 0 & \\ & & & & -1 & 1 \\ \hline & 2 & 0 & 1 & -7 & 4 \end{array}\]

Resultados:

\(\mathbf{q(x) = 2x^2 + 1}\), \(\mathbf{R(x) = -7x + 4}\).

Ejemplo 4 (Divisor incompleto con cero intermedio):

Dividir \((x^4 + 2x^3 – 3x^2 + 4x – 1)\) entre \((x^2 – 2)\).

Divisor completo:

\(x^2 + 0x – 2 \rightarrow\) Coeficientes: \(1\) (esquina), \(0, +2\) (cambiados).

Esquema:

\[\begin{array}{c\|ccc\|cc} 1 & 1 & 2 & -3 & 4 & -1 \\ \hline 0 & & 0 & 2 & & \\ 2 & & & 0 & 4 & \\ & & & & 0 & -2 \\ \hline & 1 & 2 & -1 & 8 & -3 \end{array}\]

Resultados:

\(\mathbf{q(x) = x^2 + 2x – 1}\), \(\mathbf{R(x) = 8x – 3}\).

Ejemplo 5 (División exacta de grado 5):

Dividir \((2x^5 + 3x^4 – x^3 + 2x^2 + 4x + 2)\) entre \((2x^2 + x + 1)\).

Esquema:

\[\begin{array}{r\|rrrr\|rr} 2 & 2 & 3 & -1 & 2 & 4 & 2 \\ \hline -1 & & -1 & -1 & & & \\ -1 & & & -1 & -1 & & \\ & & & & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & \\ & & & & & -\frac{5}{4} & -\frac{5}{4} \\ \hline & 1 & 1 & -\frac{3}{2} & \frac{5}{4} & \frac{17}{4} & \frac{3}{4} \end{array}\]

Resultados:

\(\mathbf{q(x) = x^3 + x^2 – \frac{3}{2}x + \frac{5}{4}}\), \(\mathbf{R(x) = \frac{17}{4}x + \frac{3}{4}}\).

Actividad Clase Virtual [Miércoles 07/10/26]: El Desafío de Horner

Actividades prácticas (Contextualizados al BTH)

Problema 1 (Gastronomía – Estandarización de masa para empanadas en lotes):

Un lote de producción industrial genera un volumen de masa modelado por \(V(x) = 2x^4 + 7x^3 + 11x^2 + 8x + 4\). Si se divide en moldes cuya capacidad volumétrica es \(M(x) = 2x^2 + 3x + 1\), determinemos el número de moldes \(q(x)\) y la masa sobrante \(R(x)\) mediante el Método de Horner.

Problema 2 (Electrónica – Filtro de señales y función de transferencia):

La función de respuesta de un circuito con microcontroladores es \(S(t) = 4t^4 + 6t^3 – 2t^2 + 5t + 1\). Al aplicar un filtro de segundo orden \(F(t) = 2t^2 + t – 1\), hallemos la señal resultante y el ruido remanente.

Problema 3 (Contaduría – Prorrateo de costos indirectos de fabricación):

Una microempresa vinculada a la zona de la Mutualista tiene un costo total indirecto expresado por \(C(x) = 6x^4 + 11x^3 + 10x^2 + 5x + 3\). Si el factor de distribución entre departamentos productivos está determinado por \(D(x) = 3x^2 + x + 2\), calculemos la cuota departamental y el ajuste contable.

Problema 4 (Electrónica – Modelación de impedancia en cascada):

En un sistema de audio, la disipación total está modelada por \(P(w) = 3w^4 + 5w^3 + 4w^2 + 2w + 1\), alimentada a través de dos etapas en serie \(E(w) = w^2 + w + 1\). Determina la potencia neta transferida.

Problema 5 (Gastronomía – Dosificación de conservantes en mermeladas):

La concentración de conservante en un perol industrial sigue la expresión \(K(x) = 4x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 2x + 5\), y se envasa en recipientes con factor \(R(x) = 2x^2 + x + 2\). Calculemos la tasa de distribución.